\( G(x)\) es un polinomio de segundo grado tal que
\[ G\left(x+\frac{1}{2} \right)-G\left(x-\frac{1}{2} \right) = 4 \left(2x-1\right) \forall x \in \mathbb{R} \]
Encuentre el valor mínimo de \( G(x)\) si \( G(0)=5\).
Solución:
Sea \( G(x)=ax^{2}+bx+c\), como \( G(0)=5\) entonces \( c=5\) de donde \( G(x)=ax^{2}+bx+5\).
Por otro lado, siendo
\[ G\left(x+\frac{1}{2} \right)-G\left(x-\frac{1}{2} \right)= 8x-4 \]
entonces
\[ \small{ \left[\mathop{a\left(x+\frac{1}{2} \right)}\nolimits^{2} +\mathop{b\left(x+\frac{1}{2} \right)}\nolimits^{} +5\right]-\left[\mathop{a\left(x-\frac{1}{2} \right)}\nolimits^{2} +\mathop{b\left(x-\frac{1}{2} \right)}\nolimits^{} +5\right] = 8x-4 } \]
de donde, al efectuar las operaciones indicadas y reducir al máximo, se obtiene \( 2ax+b=8x-4\) con lo que, al aplicar identidad polinomial, se tiene \( a=4\), \( b=-4\) entonces \( G(x)=4x^{2} -4x+5\) y el mínimo valor de \( G(x)\) nos lo da la coordenada «\( y\)» de su vértice \( \left(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta }{4a} \right)\) el cual es 4.