5 Problemas Sobre Divisibilidad

Ahora es el turno de la Teoría de Números. Proponemos estos 5 problemas relacionados con divisibilidad. Posteriormente estaremos publicando las soluciones, pero sería bueno contar con aportes de los lectores.

Problema 1. Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ , el número
$(n^{3} - n) (5^{8 n + 4} + 3^{4 n + 2})$
es múltiplo de $3804$ .

(I Olimpiada Mexicana de Matemáticas, 1987).

Problema 2. Pruebe que $2^{n} \cdot 3^{2 n} - 1$ es siempre divisible por $17$ para todo $n$ natural.

(Concurso de problemas J.I.R Mc Knight, 1992).

Problema 3. Encuentra todos los números primos positivos $p$ tales que $8 p^{4} - 3003$ también sea un primo positivo.

(XI Olimpiada Nacional de Matemáticas de México, noviembre de 1997).

Problema 4. Si $n$ es un número natural impar mayor que $2$ , demuestre que $n (n^{2} - 1)$ es divisible por $24$ .

(CEOC, 1992).

Problema 5. Determine el mayor natural $k$ para el cual existe un entero $n$ tal que $3 k$ divide $n^{3} - 3 n^{2} + 22$ .

2 Comments

Olímpico el 22 junio 2011 a las 6:09 PM

Problema 1.

El número 3804 se puede expresar como $4 \times 3 \times 317 = 6 \times 634$ .

La expresión $(n^{3} - n) = n (n^{2} - 1) = n (n + 1) (n - 1)$ .
Como es una multiplicación de tres números consecutivos es múltiplo de 3. Además, $n (n + 1)$ es una expresión par, por lo que la expresión $(n^{3} - n)$ es múltiplo de 6.

La expresión $(5^{8 n + 4} + 3^{4 n + 2}) = (5^{4 (2 n + 1)} + 3^{2 (2 n + 1)})$

Se observa que $2 n + 1$ es impar. Reemplazándolo por $x$ . Se tiene:

$(5^{4 x} + 3^{2 x})$ . Como $x$ es impar, se cumple que $5^{4} + 3^{2} | 5^{4 x} + 3^{2 x}$ .

Pero $5^{4} + 3^{2} = 634$ . Por lo tanto $(n^{3} - n) (5^{8 n + 4} + 3^{4 n + 2}) = 3804 (m n)$ , demostrando lo pedido.

Está bien resuelto?

Felicitaciones por la página, está perfecta y me está sirviendo mucho para prepararme para las olimpíadas.

Olímpico el 22 junio 2011 a las 9:15 PM

Problema 2.

Dado que $17 = 2 \cdot 3^{2} - 1$ , entonces por la propiedad que dice que $x - y | x^{n} - y^{n}$ , tenemos que $2 \cdot 3^{2} - 1 | 2^{n} \cdot 3^{2 n} - 1^{n}$ , demostrando lo pedido.

Problema 3.

Por paridad sabemos que $p$ no puede ser 2, entonces $p$ debe ser impar. Las terminaciones de cuadrados perfectos impares son 1,5,9. Elevando al cuadrado se observa que las terminaciones se reducen a 1 y 5. Por lo tanto $p^{4}$ termina en 1 o 5, pero la terminación 5 de los cuadrados perfectos corresponden a los múltiplos de 5, por lo tanto si $p$ es primo, entonces para que termine en 5 debe ser el 5 solamente, de lo contrario se podría dividir por 5 y sería compuesto.

Caso 1: $p^{4}$ termina en 1: entonces $8 p^{4}$ termina en 8, al restarle 3003, entonces termina en 5 y por lo tanto es compuesto.

Caso 2: $p^{4}$ termina en 5: entonces $p$ es 5 y $8 p^{4} - 3003 = 1997$ que es primo y constituye el único caso.

El problema 3 me costó bastante, me podrían decir si está bien?

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