A continuación cinco problemas propuestos, cuya solución no es muy complicada, y pueden usarse para despertar el interés en los muchachos que se inician en los procesos de Olimpiadas de Matemática:
Problema 1. A una conferencia asisten 47 personas. Una mujer conoce 16 de los hombres presentes, otra conoce 17, y así sucesivamente hasta la última mujer quien conoce a todos los hombres presentes. Determine el número de hombres y mujeres presentes en la conferencia.
(2° Olimpiada Matemática de Vietnam, 1963).
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Problema 2. Amy, Bart y Carol están comiendo zanahorias. Amy comió la mitad de las que comió Bart, más un tercio de los que comió Carol, más una. Bart comió la mitad de las que comió Carol, más un tercio de los que comió Amy, más dos. Carol comió la mitad de las que comió Amy, más un tercio de los que comió Bart, más tres. ¿Cuántas zanahorias comieron en total?
(29° Junios High School Mathematics Contest, April 27, 2005).
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Problema 3. Determine el cociente al efectuar
\[ \displaystyle \frac{(x + x^2 + \cdots + x^{100})}{(x^{-1} + x^{-2} + \cdots + x^{-100})} . \]
(Mathematics Competition Department of Mathematics Florida Atlantic University and Stuyvesant High School Alumni Association of South Florida, Spring, 2000).
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Problema 4. \( m\), \( n\) son enteros positivos tales que \( mn + m + n = 71\), \( m^2 n + mn^2 = 880\), determine \( m^2 + n^2\).
(AIME, 1991).
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Problema 5. Un viajero llega a una isla en la que todos sus habitantes dicen la verdad los lunes, miércoles, viernes y domingos, mientras que los demás días de la semana dicen siempre la mentira. El viajero mantiene el siguiente dialogo con un nativo de la isla:
– Viajero: ¿Qué día es hoy?
– Nativo: Sábado
– Viajero: ¿Qué día será mañana?
– Nativo: Miércoles
¿Qué día de la semana es realmente?
(X O.M. Fase Comarcal Valencia. 1999).
Pos como solo dicen la verdad lunes, mierc, viernes y domingos y como hay una discrepancia en los dias que el nativo menciona… tons es un dia de mentira!
Eso nos deja martes, jueves o sabado….
Como esta mintiendo y dice q es sabado… tons nos queda martes o jueves…
Y cuando se le pregunta q dia sera ma;ana… no puede ser martes x q estaria diciendo verdad… la unica opcion q queda es jueves…
tons parece q es jueves…
Correcto: es jueves.
Como dice que hoy es sábado y los sábado miente, entonces no es sábado.
Queda que sea martes o jueves. Dice que mañana es miércoles, por lo tanto no es martes.
Muchas gracias por comentar.
Imaginariamente uno podría hacer lo siguiente. Poner a todos los hombres en una fila. Al lado del Nº 16 colocaría a una mujer (puesto que ella conoce a los 16 que están delante de ella). Al lado del hombre Nº17 colocaría a una mujer detras de la primera (puesto que ella conoce a los 17 hombres que están delante de ella). Asi sucesivamente… quedaría entonces:
Hombres 1 2 3…..16 17 18 19…..30 31
Mujeres ________1__2__3__4…..15_16
En la fila 31 hay 47 personas, por lo tanto en total son 31 hombres y 16 mujeres.
Saludos!
¡Excelente! Otra forma de abordarlo: suponga que asisten \( m \) mujeres. Entonces la última mujer conoce a \( (15 + m) \) hombres, así \( 15 + 2m = 47 \) con lo que \( m = 16 \). Por tanto, a la conferencia asisten 31 hombres y 16 mujeres.
Buenas, me ha gustado el problema 3) gracias por plantearlo 😉
Resolución problema 3:
\[ \displaystyle\frac{x+x^2+\cdots +x^{100}}{x^{-1}+x^{-2}+\cdots +x^{-100}} = \displaystyle\frac{x+x^2+\cdots +x^{100}}{ \displaystyle\frac{1+x+\cdots +x^{99}}{x^{100}}} \]
Entonces \( \displaystyle\frac{x(1+x+\cdots +x^{99})(x^{100})}{(1+x+\cdots +x^{99})} \)
Por lo tanto el cociente es \( x(x^{100})=x^{101} \)
Está bien resuelto?
Excelente! Muchas gracias por el aporte. Efectivamente, esa es la solución correcta. Me alegra mucho que hayas usado el formato de \( \LaTeX \) en el comentario.
1)1 16=17
2 17=19
. .
. .
16 31=47
2) a=(b/2)+(c/3)+1
b=(c/2)+(a/3)+2
c=(a/2)+(b/3)+3
Sumo a, b y c:
a+b+c=((a+b+c)/2)+((a+b+c)/3)+6
Sumo las fracciones:
a+b+c=((5a+5b+5c)/6)+6
Paso el 6 restando:
a+b+c-6=(5a+5b+5c)/6
Paso el 6 multiplicando:
6a+6b+6c-36=5a+5b+5c
Despejo:
a+b+c=36
Los otros no los he resuelto aun… xD
Hola Carlos, y gracias por estos aportes.
Para las próximas semanas tengo planeado reactivar este proyecto, así que le invito a que nos siga visitando.
Saludos.
4. 11 y 5.
Hola PaTo. Gracias por la respuesta. Efectivamente, 11 y 5 cumplen con lo propuesto. La respuesta final sería que \( m^2 + n^2 = 146 \). Si tiene chance, nos gustaría que nos comparta la forma en que lo resolvió.
Saludos,
Simón/.