Problema Resuelto. De los números
\[ x = (16806)^{789} \]
\[ y = (344)^{1315} \]
¿cuál es el mayor?
Previos:
- \( (i) \) \( 343 = 7^3 \)
- \( (ii) \) \( 16807 = 7^5 \)
- \( (iii) \) \( (a+b)^n = a^n + bx \); \( \forall a, n, b, x \in \mathbb{Z} \)
Solución:
\[ y = (344)^{1315} = (343 + 1)^{1315} = (7^3 + 1)^{1315} \]
Aplicando el previo \( (iii) \):
\[ y = 7^{3945} + k; \forall k \in \mathbb{Z}^+ \]
\[ \Rightarrow y > 7^{3945} \]
De manera análoga:
\[ x = (7^5 – 1)^{789} \]
Y aplicando el previo \( (iii) \):
\[ x = 7^{3945} + m; \forall m \in \mathbb{Z}^- \]
\[ \Rightarrow x < 7^{3945} \]
De aquí:
\[ x < 7^{3945} < y .\]
Problemas Propuestos.
1. De los siguientes números:
\[ x = [(123456789)!]^2 \]
\[ y = (123456789)^{123456789} \]
¿cuál es el mayor?
Sugerencia: Intente usar el Teorema de Inducción para demostrar que \( (n!)^2 > n^n \).
2. Sea \( b \) un número entero positivo cuyos dos últimas cifras son \( 00 \). Llamemos \( D \) a la suma de todos los divisores de \( b \) distintos de \( b \). Pruebe que \( D > b \).
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Nota: este artículo está participando en la edición 3.141592 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ZTFNews.