Hola a todos. Hoy vamos a proponer 4 problemas sencillos para que nos envíen sus soluciones.
Recuerden que pueden usar formato de
1. Probar que si un número de 3 cifras (
2. Determine un entero positivo
3. Expresar el número 192 en cuatro sumandos tales que restando 7 al primero, sumando 7 al segundo, multiplicando 7 al tercero y dividiendo por 7 al cuarto, los cuatro resultados sean iguales.
4. Pruebe que el número
1.
Si 27/100a+10b+c, entones ¿27/100c+10a+b?
En efecto, por la hipotesis
100a+10b+c = 27k, k entero
c = 27k-100a-10b
Entonces
100c+10a+b = 100(27k-100a-10b)+10a+b =
270k-10000a-1000b+10a+b = 270k-9990a-999b =
27(100k-370a-37b)=27s, s un entero
Luego 27/100c+10a+b.
2.
Sabemos que los posibles restos de un numero n son
Z/nZ={[0],[1],[2],…,[n-1]}
Asi pues, busquemos el n>0 tal que
0+1+2+…+n-1 = 210
Pero 0+1+2+…+n-1 = n(n-1)/2
Luego n(n-1)/2 = 210
n^2-n = 420, n^2-n-420 = 0
Resolvemos la ecuacion de segundo grado, quedandonos con la solucion positiva, obteniendo n=21.
3.
Busquemos x,y,z,t cuatro números tal que
192 = x+y+z+t y además
x+7 = y-7= 7z = t/z
Como 7z = t/z , 49z=t
Asi pues, si z=1 , t=49
z=2 , t=98
z=3 , t=147
z=4 , t=196>192 luego, descartamos los casos para z >3
Si z=1, entonces x+7 = 7z = 7 , x=0
Entonces como x + 7 = t/7, tenemos que t = 1
luego contradicción (#) ya que t=49
Si z=2, entonces x+7 = 7z= 14, luego x = 7
Entonces como x + 7 = t/7, tenemos que t = 49
luego contradicción (#) ya que t=98
Si z=3, entonces x+7 = 7z = 21, luego x=14
Además, y-7= 7z = 21, luego y=28
Entonces x=14,y=28,z=3,t=147
y efectivamente 14+28+3+147=192
En las lineas 3 y 4 donde pongo t/z, es t/7
4.
(9589^2222)+(6051^1111) ¿es múltiplo de 17?
En efecto,
tenemos que
(9589^2222)+(6051^1111) = ((9589^2)^1111)+(6051^1111)
Observamos que
9589 = 9588+1 = 17k + 1, k cierto natural
6051 = 6052-1 = 17c – 1, c cierto natural
Así pues
((9589^2)^1111)+(6051^1111) =
(((9588+1)^2)^1111)+((6052-1)^1111)
Además
(9588+1)^2) = 17*k’+1 , k’ cierto entero
(((9588+1)^2)^1111) = ((17*k’+1)^1111) =
17*k»+1 , k» cierto entero
(6052-1)^1111 = 17*c’ +(-1)^1111 = 17*c’-1, c’ cierto entero
Entonces
(((9588+1)^2)^1111)+((6052-1)^1111) = 17*k»+1+17*c’-1 =
17t, t ciero entero, luego
17 divide a (9589^2222)+(6051^1111)
Estuve revisando el 3 y estan mal razonados dos casos
Si z=1, entonces x+7 = 7z = 7 , x=0
Ademas y-7 = 7z = 7, luego y=14.
Sin embargo x=0,y=14,z=1,t=49 no suman 192.
Si z=2, entonces x+7 = 7z = 14 , x=7
Ademas y-7 = 7z = 14, luego y=21.
Sin embargo x=7,y=21,z=2,t=96 no suman 192.