Todos los números de dos dígitos desde \( 19\) hasta \( 80\) son escritos en una sola fila. El resultado es leído como el número
\[ 1920212223 \ldots 77787980 . \]
Pruebe que dicho número es divisible por \( 1980\).
Solución:
Como \( 1980 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11\), necesitamos probar que el número formado es divisible por \( 4\), \( 9\), \( 5\) y \( 11\).
Los dos últimos dígitos son \( 8\) y \( 0\), así que el número es divisible por \( 4\) y \( 5\).
La suma de los dígitos en posición impar es
\[ 1 + (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)10 + 8 = 279 , \]
y la suma de los dígitos que están en la posición par es
\[ 9 + (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)6 + 0 = 279 . \]
Como \( 279 + 279 = 558\) el número dado es divisible por \( 9\) y como \( 279 – 279 = 0\) el número también es divisible por \( 11\).
Se concluye, de todo lo anterior, que el número dado es divisible por \( 1980\).