Se ofrece la demostración de 4 de estos criterios, y se deja al lector como ejercicio probar los otros 7.

  • Por 2: un número entero es divisible por 2 cuando el dígito de sus unidades es un número par.
  • Por 3: un número entero es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es divisible por 3.
  • Por 4: un número entero es divisible por 4 cuando el número formado por los últimos dos dígitos del número entero es divisible por 4.

Prueba: Todo número expresado en base diez tiene la forma

\[ N = a_0 +10a_1 + 10^2a_2 +10^3a_3 + 10^4a_4 + \ldots + 10^{n – 1}a_{n – 1} + 10^na_n . \]

Ahora bien, nótese que a partir del tercer término (\( 10^2a_2\)) todos los demás son divisibles por 4 por lo que si el número \( N\) es divisible por 4 lo debe ser también el número \( a_0 + 10a_1\) que es precisamente el número de dos dígitos formado por los dos últimos dígitos del número \( N\). Lo que permite concluir que el número \( N\) es divisible por 4 si y sólo si el número formado por sus dos últimos dígitos lo es.

  • Por 5: un número entero es divisible por 5 cuando el dígito de sus unidades es 5 ó 0.

Prueba: Nuevamente haciendo referencia a la expresión de un número en base diez, nótese que a partir del segundo término (\( 10a_1\)) todos los demás son divisibles por 5 por lo que si el número \( N\) es divisible por 5 lo debe ser también el número \( a_0\) que es precisamente el último dígito del número \( N\). Lo que permite concluir que el número \( N\) es divisible por 5 si y sólo si el último dígito es 0 ó 5.

  • Por 6: un número entero es divisible por 6 cuando lo es, simultáneamente, por 2 y 3.
  • Por 7: un número entero es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número entero y el doble del número que resulta de eliminar el dígito de las unidades del número dado es divisible por 7. Si no es claro que el número obtenido sea divisible por 7 se puede seguir el procedimiento descrito anteriormente hasta obtener un número que, a simple vista, lo sea o no.
  • Por 8: un número entero es divisible por 8 cuando el número formado por los últimos tres dígitos del número entero es divisible por 8.
  • Por 9: un número entero es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es divisible por 9.

Prueba: Se debe tener presente que \( 10k\) es congruente con 1 módulo 9 ya sea \( k\) par o impar. Sean \( N\) el número a determinar si es divisible por 9, entonces:

\[ a_0 + 10a_1 + 10^2a_2 + 10^3a_3 + \ldots + 10^na_n \equiv a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n \pmod 9 \]
es decir, el número \( N\) es divisible por 9 si lo es la suma de sus dígitos.

  • Por 10: un número entero es divisible por 10 cuando el dígito de sus unidades es 0.
  • Por 11: un número entero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los dígitos que ocupan la posición par y los dígitos que ocupan la posición impar es divisible por 11. Si no es claro que el número obtenido sea divisible por 11 se puede seguir el procedimiento descrito anteriormente hasta obtener un número que, a simple vista, lo sea o no.

Prueba: Se debe tener presente que \( 10k\) es congruente con 1 ó -1 módulo 11, de acuerdo a si \( k\) es par o impar. Sean \( N\), \( a\) y \( b\), respectivamente, el número a determinar si es divisible por 11, la suma de los dígitos en posición par y la suma de los dígitos en posición impar, entonces

\[ a_0 + 10^2a_2 + 10^4a_4 + \ldots + 10^na_n \equiv a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_n = a \pmod {11} \]

\[ 10a_1 + 10^3a_3 + 10^5a_5 + \ldots + 10^{n – 1}a_{n – 1} \equiv – a_1 – a_2 – a_4 – \ldots – a_{n – 1} = -b \pmod {11} \]

Sumando estas congruencias tenemos:

\[ N \equiv (a – b) \pmod{11}\]

Por lo tanto, 11 divide a \( N\) si y sólo si 11 divide a \( (a – b)\).

  • Por 12: un número entero es divisible por 12 cuando lo es, simultáneamente, por 4 y 3.