Hola a todos. Hoy vamos a proponer 4 problemas sencillos para que nos envíen sus soluciones.
Recuerden que pueden usar formato de \(\LaTeX\) en sus comentarios.
1. Probar que si un número de 3 cifras (\(abc\)) es divisible entre 27, entonces 27 divide al número (\(cab\)).
2. Determine un entero positivo \(n\) sabiendo que la suma de todos los posibles restos diferentes que quedan al dividir entre \(n\) es igual a 210.
3. Expresar el número 192 en cuatro sumandos tales que restando 7 al primero, sumando 7 al segundo, multiplicando 7 al tercero y dividiendo por 7 al cuarto, los cuatro resultados sean iguales.
4. Pruebe que el número \(9589^{2222} + 6051^{1111}\) es múltiplo de 17.
1.
Si 27/100a+10b+c, entones ¿27/100c+10a+b?
En efecto, por la hipotesis
100a+10b+c = 27k, k entero
c = 27k-100a-10b
Entonces
100c+10a+b = 100(27k-100a-10b)+10a+b =
270k-10000a-1000b+10a+b = 270k-9990a-999b =
27(100k-370a-37b)=27s, s un entero
Luego 27/100c+10a+b.
2.
Sabemos que los posibles restos de un numero n son
Z/nZ={[0],[1],[2],…,[n-1]}
Asi pues, busquemos el n>0 tal que
0+1+2+…+n-1 = 210
Pero 0+1+2+…+n-1 = n(n-1)/2
Luego n(n-1)/2 = 210
n^2-n = 420, n^2-n-420 = 0
Resolvemos la ecuacion de segundo grado, quedandonos con la solucion positiva, obteniendo n=21.
3.
Busquemos x,y,z,t cuatro números tal que
192 = x+y+z+t y además
x+7 = y-7= 7z = t/z
Como 7z = t/z , 49z=t
Asi pues, si z=1 , t=49
z=2 , t=98
z=3 , t=147
z=4 , t=196>192 luego, descartamos los casos para z >3
Si z=1, entonces x+7 = 7z = 7 , x=0
Entonces como x + 7 = t/7, tenemos que t = 1
luego contradicción (#) ya que t=49
Si z=2, entonces x+7 = 7z= 14, luego x = 7
Entonces como x + 7 = t/7, tenemos que t = 49
luego contradicción (#) ya que t=98
Si z=3, entonces x+7 = 7z = 21, luego x=14
Además, y-7= 7z = 21, luego y=28
Entonces x=14,y=28,z=3,t=147
y efectivamente 14+28+3+147=192
En las lineas 3 y 4 donde pongo t/z, es t/7
4.
(9589^2222)+(6051^1111) ¿es múltiplo de 17?
En efecto,
tenemos que
(9589^2222)+(6051^1111) = ((9589^2)^1111)+(6051^1111)
Observamos que
9589 = 9588+1 = 17k + 1, k cierto natural
6051 = 6052-1 = 17c – 1, c cierto natural
Así pues
((9589^2)^1111)+(6051^1111) =
(((9588+1)^2)^1111)+((6052-1)^1111)
Además
(9588+1)^2) = 17*k’+1 , k’ cierto entero
(((9588+1)^2)^1111) = ((17*k’+1)^1111) =
17*k»+1 , k» cierto entero
(6052-1)^1111 = 17*c’ +(-1)^1111 = 17*c’-1, c’ cierto entero
Entonces
(((9588+1)^2)^1111)+((6052-1)^1111) = 17*k»+1+17*c’-1 =
17t, t ciero entero, luego
17 divide a (9589^2222)+(6051^1111)
Estuve revisando el 3 y estan mal razonados dos casos
Si z=1, entonces x+7 = 7z = 7 , x=0
Ademas y-7 = 7z = 7, luego y=14.
Sin embargo x=0,y=14,z=1,t=49 no suman 192.
Si z=2, entonces x+7 = 7z = 14 , x=7
Ademas y-7 = 7z = 14, luego y=21.
Sin embargo x=7,y=21,z=2,t=96 no suman 192.