Definiciones

Media Aritmética

La media aritmética de un conjunto \( {x_1, x_2, \cdots ,x_n} \in \mathbb{R}^+\), es igual a la suma dividida por el número total de elementos,

\[ \displaystyle \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \]

Media Geométrica

La media geométrica de un conjunto \( {x_1, x_2, \cdots , x_n} \in \mathbb{R}^+\), es igual a la raíz n-ésima del producto de todos ellos.

\[ \displaystyle \sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n} \]

Media Armónica

La media armónica de un conjunto \( {x_1, x_2 , \cdots , x_n} \in \mathbb{R}^+\), es igual al número total de elementos dividido entre la suma de los inversos.

\[ \displaystyle { \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}} } \]

Desigualdades

1. La desigualdad entre media aritmética y geométrica establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto.

\[ \displaystyle { \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} } \]

Cumpliéndose la igualdad si y sólo si \( {x_1 = x_2 = \cdots = x_n}\).

2. La desigualdad entre la media geométrica y de la media armónica establece que la media geométrica de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media armónica del mismo conjunto.

\[ \displaystyle { \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}} } \]

Cumpliéndose la igualdad si y sólo si \( {x_1 = x_2 = \cdots = x_n}\).

3. A continuación citamos algunas desigualdades útiles en la resolución de problemas:

\[ \displaystyle { \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} }; \forall x, y \in \mathbb{R}^+ \]
\[ \displaystyle { \sqrt{xy} \geq \frac{2xy}{x+y} }; \forall x, y \in \mathbb{R}^+ \]
\[ (x-y)^2 \geq 0; \forall x, y \in \mathbb{R} \]
\[ \displaystyle {x + \frac{1}{x} \geq 2}; \forall x \in \mathbb{R} \]
\[ x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + xz + yz; \forall x, y, z \in \mathbb{R} \]

4. Desigualdad Triangular: En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante.

Puesto en otros términos, sean \( x, y, z\) las medidas de los lados de un triángulo, entonces se cumplen las siguientes desigualdades:

\[ x + y > z; \]
\[ x + z > y; \]
\[ y + z > x. \]

Para más información hacemos referencia a las siguientes publicaciones:

– Inecuación, Desigualdad triangular y Desigualdad de las medias aritmética y geométrica, en Wikipedia.

– Reordenamiento de conjuntos y Desigualdades, del profesor José Rosales Ortega.

Y también al siguiente documento en formato PDF:

  Media aritmética y media geométrica (233,8 KiB, 1.855 hits)