Acá tenemos 2 problemas interesantes de teoría de números que planteamos a nuestros lectores. Esperamos sus comentarios o emails con las soluciones.
Problema 1. Determine el valor de la suma:
\[ 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \cdots + 100 \cdot 2^{99} . \]
Problema 2. Determine si los siguientes números son iguales o cuál es el mayor de ellos:
\( A = \sqrt[3]{\sqrt[3]{2} – 1} \) ó \(B = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} – \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}} \) .
Problema 1:
Definamos \[X_n = 1+ 2 \cdot 2+ 3 \cdot 4+ \cdots+ n \cdot 2^{n-1}\]
Voy a probar por induccion que \[ X_n = 1 + (n-1)\cdot 2^ {n} \]
Es facil de verificar que para \[n=1 \] se cumple.
Supongamos que \[ X_n = 1 + (n-1)\cdot 2^ {n} \]
Sumando \[(n+1) \cdot 2^{n} \] a ambos lados de la ecuacion obtenemos:
\[ X_n + (n+1) \cdot 2^n = 1 + (n-1)\cdot 2^ {n} + (n+1) \cdot 2^n \] (1)
Veamos que \[ X_{n+1} = X_n + (n+1) \cdot 2^n \] y que
\[ 1 + (n-1)\cdot 2^ {n} + (n+1) \cdot 2^n = 1 + 2^n \cdot (n+1 + n-1) = 1 + 2^{n+1} \cdot n \]
Por lo tanto, sustituyendo esto en (1) obtenemos que
\[ X_{n+1} = 1 + 2^{n+1} \cdot n \]
lo cual concluye la prueba.
Entonces \[ X_{100} = 1 + 2\cdot 2+ 3 \cdot 4 + \cdots+ 100 \cdot 2^{99} = 1 + 99 \cdot 2^{100} \]
El valor de la suma no se me ocurrio magicamente.. lo averigue definiendo la recurrencia \[ X_{n} = X_{n-1} + (n) \cdot 2^{n-1} \] y resolviendola.
Problema 2:
Vamos a demostrar que son iguales.
Primero veamos que
\[B = \displaystyle\sqrt[3]{\frac{1}{9}}(1 – \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) \]
Usando que \[1-x+x^2 = \displaystyle\frac {x^3 +1}{x+1}\] obtenemos que
\[B = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{9}} \cdot \displaystyle\frac{(\displaystyle\sqrt[3]{2})^3 + 1}{\sqrt[3]{2} + 1}\]
\[=> B = \displaystyle\sqrt[3]{\frac{1}{9}} \cdot \displaystyle\frac{3} {\sqrt[3]{2} + 1} = \frac {\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2} + 1}\]
Luego \[A = B\] si y solo si \[A^3 = B^ 3\] si y solo si
\[\sqrt[3]{2} – 1 = \displaystyle\frac {3}{(\sqrt[3]{2} + 1)^3}\]
si y solo si \[(\sqrt[3]{2} – 1)(\sqrt[3]{2} + 1)^3 = 3 \]
\[\leftrightarrow (\sqrt[3]{2} – 1)(3 + 3\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{4}) = 3 \]
\[\leftrightarrow 3 \cdot (\sqrt[3]{2} – 1)(1 +\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) = 3 \]
\[\leftrightarrow 3 \cdot ((\sqrt[3]{2})^3 – 1) = 3 \]
lo cual es claramente cierto.
Muchas gracias Tomas por estos dos aportes. Es agradable tener participación de los lectores.