Dos Problemas Propuestos

3 Comments

1. 

   Tomas el 17 agosto 2011 a las 7:48 PM

   Problema 1:

   Definamos $$X_n=1+2\cdot 2+3\cdot 4+\cdots +n\cdot 2^{n-1}$$

   Voy a probar por induccion que $$X_n=1+(n-1)\cdot 2^n$$

   Es facil de verificar que para $$n=1$$ se cumple.

   Supongamos que $$X_n=1+(n-1)\cdot 2^n$$

   Sumando $$(n+1)\cdot 2^n$$ a ambos lados de la ecuacion obtenemos:

   $$X_n+(n+1)\cdot 2^n=1+(n-1)\cdot 2^n+(n+1)\cdot 2^n$$ (1)

   Veamos que $$X_{n+1}=X_n+(n+1)\cdot 2^n$$ y que

   $$1+(n-1)\cdot 2^n+(n+1)\cdot 2^n=1+2^n\cdot (n+1+n-1)=1+2^{n+1}\cdot n$$

   Por lo tanto, sustituyendo esto en (1) obtenemos que

   $$X_{n+1}=1+2^{n+1}\cdot n$$

   lo cual concluye la prueba.

   Entonces $$X_{100}=1+2\cdot 2+3\cdot 4+\cdots +100\cdot 2^{99}=1+99\cdot 2^{100}$$

   El valor de la suma no se me ocurrio magicamente.. lo averigue definiendo la recurrencia $$X_n=X_{n-1}+(n)\cdot 2^{n-1}$$ y resolviendola.

2. 

   Tomas el 17 agosto 2011 a las 8:41 PM

   Problema 2:

   Vamos a demostrar que son iguales.

   Primero veamos que

   $$B={\displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{9}}(1–\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})}$$

   Usando que $$1-x+x^2={\displaystyle \frac{x^3+1}{x+1}}$$ obtenemos que

   $$B=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{9}}}\cdot {\displaystyle \frac{({\displaystyle \sqrt[3]{2}{)}^3+1}}{\sqrt[3]{2}+1}}$$

   $$=>B={\displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{2}+1}=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}+1}}}$$

   Luego $$A=B$$ si y solo si $$A^3=B^3$$ si y solo si

   $$\sqrt[3]{2}–1={\displaystyle \frac{3}{(\sqrt[3]{2}+1{)}^3}}$$

   si y solo si $$(\sqrt[3]{2}–1)(\sqrt[3]{2}+1{)}^3=3$$

   $$\leftrightarrow (\sqrt[3]{2}–1)(3+3\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4})=3$$

   $$\leftrightarrow 3\cdot (\sqrt[3]{2}–1)(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})=3$$

   $$\leftrightarrow 3\cdot ((\sqrt[3]{2}{)}^3–1)=3$$

   lo cual es claramente cierto.

3. 

   admin el 18 agosto 2011 a las 7:43 AM

   Muchas gracias Tomas por estos dos aportes. Es agradable tener participación de los lectores.