Una ecuación cúbica a la cual le falta el término cuadrático, se llamará ecuación reducida, y puede expresarse de la forma:

\[ \label{cub:eq1} \tag{1} y^3 – 3ay – 2b = 0 \]

Toda ecuación cúbica en forma general, es decir, de la forma:

\[ \label{cub:eq2} \tag{2} x^3 + cx^2 + dx + e = 0 \]

se puede expresar en forma reducida sustituyendo la variable \( x\) por otra variable aumentada en el tercio del coeficiente del término cuadrático, tomado con signo opuesto.

Es decir:

\[ \displaystyle { x = y – \frac{c}{3} } \]

Sustituyendo en \eqref{cub:eq2} se obtiene:

\[ \displaystyle { \left (y – \frac{c}{3} \right )^3 + c \left (y – \frac{c}{3} \right )^2 + d \left (y – \frac{c}{3} \right ) + e = 0 } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { y^3 – cy^2 + \frac{c^2y}{3} – \frac{c^3}{27} + cy^2 – \frac{2c^2y}{3} + \frac {c^3}{9} + dy – \frac{dc}{3} + e = 0 } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { y^3 + dy – \frac{c^2y}{3} + \frac{2c^3}{27} – \frac{dc}{3} + e = 0 } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { y^3 + \left (d – \frac{c^2}{3} \right )y + \left (\frac{2c^3}{27} – \frac{dc}{3} + e \right ) = 0 } \]

Sean

\[ \displaystyle { -3a = \left ( d – \frac{c^2}{3} \right ) } \]
\[ \displaystyle { -2b = \left ( \frac{2c^3}{27} – \frac{dc}{3} + e \right ) } \]
la ecuación queda reducida a la forma de \eqref{cub:eq1}.

Para resolver ecuaciones cúbicas basta con:

  • Saber resolver ecuaciones del tipo \eqref{cub:eq1}.
  • Tener una buena calculadora.
  • Saber que las raíces cúbicas de la unidad son:

\[ \epsilon_1 = 1 \]

\[ \epsilon_2 = \displaystyle \frac { -1 – \sqrt{3}i}{2} \]

\[ \epsilon_3 = \displaystyle \frac { -1 + \sqrt{3}i}{2} \]

y que \( \epsilon_2 \cdot \epsilon_3 = 1\).

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Resolución de las ecuaciones cúbicas reducidas

Regresamos a la ecuación de tipo \eqref{cub:eq1}:

\[ y^3 – 3ay – 2b = 0 \]

Sea \( \displaystyle { y = p + \frac{a}{p} }\), entonces:

\[ \displaystyle { y^3 = p^3 + 3ap + \frac{3a^2}{p} + \frac{a^3}{p^3} } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { y^3 – 3ay = p^3 + 3ap + \frac{3a^2}{p} + \frac{a^3}{p^3} – 3a \left ( p + \frac{a}{p} \right ) } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { y^3 – 3ay = p^3 + 3ap + \frac{3a^2}{p} + \frac{a^3}{p^3} – 3a – 3ap – \frac{3a^2}{p} } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { y^3 – 3ay = p^3 + \frac{a^3}{p^3} } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { y^3 – 3ay – 2b = p^3 – 2b + \frac{a^3}{p^3} } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { p^3 – 2b + \frac{a^3}{p^3} = 0 } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { (p^3)^2 – 2b(p^3) + a^3 = 0 } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { p^3 = \frac{-2b \pm \sqrt{4b^2 – 4a^3}}{2} } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { p^3 = b \pm \sqrt{b^2 – a^3} } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { p = \epsilon \sqrt[3]{ b \pm \sqrt{b^2 – a^3} } } \]

donde \( \epsilon \) representa las tres raíces cúbicas de la unidad, \( \epsilon_1 \) \( \epsilon_2 \) y \( \epsilon_3 \).

Para calcular

\[ \displaystyle { \frac{a}{p} = \frac{a}{\epsilon \sqrt[3]{b \pm \sqrt{b^2-a^3} } } } \]

basta multiplicar ambos términos de la fracción por \( \sqrt[3]{b \mp \sqrt{b^2-a^3} } \), entonces:

\[ \displaystyle { \frac{a}{p} = \frac{1}{\epsilon} \sqrt[3]{b \mp \sqrt{b^2-a^3} } } \]
por consiguiente:

\[ \displaystyle { y = p + \frac{a}{p} = \epsilon \sqrt[3]{b \pm \sqrt{b^2-a^3} } + \frac{1}{\epsilon} \sqrt[3]{b \mp \sqrt{b^2-a^3} } } \]

Por tanto las raíces de y son:

\[ \displaystyle { y = \sqrt[3]{b \pm \sqrt{b^2-a^3} } + \sqrt[3]{b \mp \sqrt{b^2-a^3} } } \]
\[ \displaystyle { y = \epsilon_2 \sqrt[3]{b \pm \sqrt{b^2-a^3} } + \frac{1}{\epsilon_2} \sqrt[3]{b \mp \sqrt{b^2-a^3} } } \]
\[ \displaystyle { y = \epsilon_3 \sqrt[3]{b \pm \sqrt{b^2-a^3} } + \frac{1}{\epsilon_3} \sqrt[3]{b \mp \sqrt{b^2-a^3} } } \]

pero \( \epsilon_2 \cdot \epsilon_3 = 1\) por lo que podemos decir que:

\[ \displaystyle { y_1 = \sqrt[3]{b + \sqrt{b^2-a^3} } + \sqrt[3]{b – \sqrt{b^2-a^3} } } \]
\[ \displaystyle { y_2 = \epsilon_2 \sqrt[3]{b + \sqrt{b^2-a^3} } + \epsilon_3 \sqrt[3]{b – \sqrt{b^2-a^3} } } \]
\[ \displaystyle { y_3 = \epsilon_3 \sqrt[3]{b + \sqrt{b^2-a^3} } + \epsilon_2 \sqrt[3]{b – \sqrt{b^2-a^3} } } \]

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Sustitución en la ecuación general

Finalmente, teniendo los valores de \( y\), sustituimos para conocer los valores de \( x\) en la ecuación \eqref{cub:eq2}:

\[ \displaystyle { x_1 = y_1 – \frac{c}{3} } \]
\[ \displaystyle { x_2 = y_2 – \frac{c}{3} } \]
\[ \displaystyle { x_3 = y_3 – \frac{c}{3} } \]

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Ejemplo

Resolver la ecuación \( x^3 – 3x^2 – 12x – 112 = 0 \).

Solución: Sea \( x = y + 1 \), entonces

\[ (y + 1)^3 – 3(y + 1)^2 – 12(y + 1) – 112 = 0 \]
\[ \Rightarrow y^3 – 15y – 126 = 0 \]

Con lo cual \( -3a = -15 \); \( -2b = -126 \); y despejando se tiene que \( a = 5 \); \( b = 63 \).

Entonces:

\[ \displaystyle { y_1 = \sqrt[3]{63 + \sqrt{3969-125} } + \sqrt[3]{63 – \sqrt{3969-125} } } \]
\[ \displaystyle { y_2 = \epsilon_2\sqrt[3]{63 + \sqrt{3969-125} } + \epsilon_3 \sqrt[3]{63 – \sqrt{3969-125} } } \]
\[ \displaystyle { y_3 = \epsilon_3 \sqrt[3]{63 + \sqrt{3969-125} } + \epsilon_2 \sqrt[3]{63 – \sqrt{3969-125} } } \]

Simplificando llegamos a que:

\[ y_1 = 6 \]
\[ \displaystyle { y_2 = 5\epsilon_2 + \epsilon_3 = \frac { -5 – 5\sqrt{3}i}{2} + \frac { -1 + \sqrt{3}i}{2} = -3 – 2\sqrt{3}i } \]
\[ \displaystyle { y_3 = 5\epsilon_3 + \epsilon_2 = \frac { -5 + 5\sqrt{3}i}{2} + \frac { -1 – \sqrt{3}i}{2} = -3 + 2 \sqrt{3}i } \]

Y sustituimos para obtener los valores de \( x\):

\[ x_1 = 7 \]
\[ \displaystyle { x_2 = -2 – 2\sqrt{3}i } \]
\[ \displaystyle { x_3 = -2 + 2\sqrt{3}i } \]

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Ejercicios propuestos

1. Resolver la ecuación \( x^3 – 3x^2 – 24x + 80 = 0\).

2. Resolver la ecuación \( x^3 – 7x + 6 = 0\).

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(Esta entrada participa la edición 2.3 de Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es Los Matemáticos no son gente seria).