Dado el triángulo \( \Delta ABC\) tal que \( BC = a\), \( AB = c\) y \( AC = b\) tal como lo indica la siguiente figura:
entonces
\[ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \angle BAC\]
\[ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \angle ABC\]
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \angle ACB\]
esto es, el cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados disminuidos en el doble producto de dichas longitudes y el coseno del ángulo formado por ellos.
Para demostrar este teorema consideremos la altura sobre \( BC\) en el interior del triángulo y con la notación de la figura siguiente:
\[ \label{cos:eq1} \tag{1} h^2 + (a-x)^2 = b^2 \]
\[ \label{cos:eq2} \tag{2} h^2 + x^2 = c^2 \]
\[ \label{cos:eq3} \tag{3} \cos \alpha = \frac{x}{c} \]
Restando \eqref{cos:eq2} de \eqref{cos:eq1} se obtiene
\[ (a – x)^2 – x^2 = b^2 – c^2\]
\[ \Rightarrow a^2 – 2ax = b^2 – c^2\]
\[ \label{cos:eq4} \tag{4} \Rightarrow a^2 + c^2 – 2ax = b^2 \]
De \eqref{cos:eq3} se tiene que \( x = c \cos \alpha\) y sustituyendo en \eqref{cos:eq4} se concluye que
\[ a^2 + c^2 – 2ac \cos \alpha = b^2\]
En forma análoga se demuestran las otras dos relaciones.
Todo lo anterior es cierto si la altura está en el interior del triángulo, pero ¿qué sucede si está en el exterior? Veamos.
Consideremos, ahora, la siguiente figura:
Entonces
\[ \label{cos:eq5} \tag{5} h^2 + x^2 = c^2 \]
\[ \label{cos:eq6} \tag{6} h^2 + (a-x)^2 = b^2 \]
\[ \label{cos:eq7} \tag{7} \cos (180^{\circ} – \alpha) = x/c \]
Restando \eqref{cos:eq5} de \eqref{cos:eq6} se obtiene
\[ (a – x)^2 – x^2 = b^2 – c^2\]
\[ \Rightarrow a^2 – 2ax = b^2 – c^2\]
\[ \label{cos:eq8} \tag{8} \Rightarrow a^2 + c^2 – 2ax = b^2 \]
De \eqref{cos:eq7} se tiene que \( x = c \cos (180 ^{\circ} – \alpha)\) pero como \( \cos (180 ^{\circ} – \alpha) = – \cos \alpha\) (compruébalo…) entonces \( x = – \cos \alpha\). Y sustituyendo en \eqref{cos:eq8} se concluye que
\[ a^2 + c^2 – 2ac \cos \alpha = b^2\]
como se quería demostrar.
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