Hoy les dejamos tres problemas propuestos que involucran divisibilidad. Esperamos que los encuentren entretenidos y puedan ejercitar un poco la mente al intentar resolverlos.
1. Probar que si un número de tres cifras «abc» es divisible entre 27, entonces 27 divide al número «cab».
2. Determine un entero positivo n, sabiendo que la suma de todos los posibles residuos diferentes que quedan al dividir entre n es igual a 210.
3. El cociente de una división es 2 y el residuo es 15. Si se suman el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo se obtiene un total de 128. Halle el dividendo.
4. Sabiendo que para todo número natural n, la expresión \( a^n – b^n \) es divisible por \( a – b \), para cualquier par de números enteros positivos a y b; demostrar que, para todo número natural n, el número
\[ A = 2713^n – 513^n – 360^n + 151^n \]
es divisible por 1991.
5. Pruebe que el número \( 9589^{2222} + 6051^{1111} \) es múltiplo de 17.
6. Pruebe que \( 27195^{8} – 10887^{8} + 10152^{8} \) es divisible por 26460.